Georg Cantor (1845 - 1918) leerde veel van Spinoza, maar werd geen Spinozist
Het levenswerk van de, in Sint-Petersburg geboren, Duitse wiskundige Georg Cantor was zijn ontwikkeling van de verzamelingenleer, zijn bijdrage tot de verdere ontwikkeling van de calculus en de analyse van het continuüm van de reële getallen. Vooral 'oneindigheid' intrigeerde hem in hoge mate - wilde hij begrijpen.
In 1867 promoveerde hij aan de Universiteit van Berlijn op een onderwerp uit de getaltheorie, en werd datzelfde jaar als privaatdocent aan de Universiteit van Halle aangesteld. In 1872 werd hij er tot buitengewoon, in 1879 tot gewoon hoogleraar wiskunde benoemd. Hij bleef zijn hele leven aan deze universiteit verbonden.
Cantor introduceerde het begrip transfiniete getallen: getallen die niet strikt (absoluut) oneindig zijn maar toch groter dan ieder eindig getal. Het wordt tegenwoordig meestal gewoon aangeduid als: oneindige getallen. Een van zijn opmerkelijkste bijdragen was aan te tonen dat het begrip ‘oneindigheid’ niet ongedifferentieerd was: er waren, zo toonde hij aan, meerdere soorten oneindigheid te onderscheiden: niet alle oneindige verzamelingen waren van dezelfde grootte – ze kunnen met elkaar worden vergeleken: sommige oneindigheden zijn groter dan andere.
De reeks natuurlijke getallen (1, 2, 3 ... n) is oneindig. De reeks oneven getallen (1, 3, 5, ...n) is eveneens oneindig. Toch is voor iedereen meteen te zien dat de eerste reeks dubbel zo groot moet zijn als de tweede. Dat het ene oneindige het andere niet is vormde voor Galileï een paradox: we kunnen ermee werken, maar moeten niet proberen het te begrijpen.
Cantor wilde het wel proberen te begrijpen. Hij voerde de begrippen ordinaal en cardinaal getal in. Cardinalen zeggen iets over de grootte (het groter of kleiner zijn) van een verzameling, terwijl ordinalen iets over een rangorde zeggen (het eerder of later komen). Bijvoorbeeld ω is het eerste niet-eindige ordinaal getal en tegelijk het kleinste transfiniete getal. Twee verschillende oneindige verzamelingen kunnen eenzelfde cardinaliteit bezitten (zelfde grootte) maar met een verschillende ordinaliteit. De verzameling van natuurlijke getallen is ω0 en de verzameling reële getallen is ω1. (Voor de rest verwijs ik naar internet, b.v. wiki of scienceworld.wolfram.com of naar een goede uitleg in Denkpatronen - Hoe wiskunde en logica werken van Johan van Benthem & Robbert Dijkgraaf).
Cantor stortte meermalen in doordat hij leed aan een manisch-depressieve aandoening. Maar wellicht heeft er een relatie bestaan met zijn almaar bezig zijn met reiken naar het oneindige. Hij stelde het oneindige van de transfiniete getallen gelijk aan God (de absoluut oneindige). Hij was niet alleen in wiskunde geïnteresseerd, maar was gelovig katholiek en had grote belangstelling voor filosofie en met name zocht hij naar filosofische onderbouwing van zijn theorie van de oneindige getallen. Met dat doel voor ogen bestudeerde hij intensief het werk van Benedictus de Spinoza. Een cahier waarin hij als student op de linkerzijde de definities, axioma’s en proposities uit de eerste twee delen van de Ethica had geschreven en rechts zijn opmerkingen noteerde, is bewaard gebleven.
Onderzoek naar de invloed van Spinoza op Cantor’s denken is tot voor kort maar weinig gebeurd. In diverse uitvoerige overzichten (bv wikipedia en mathworld.wolfram.com) kom je daarover niets tegen. Ook in het zo ongeveer als standaardwerk geziene boek van Joseph Warren Dauben, Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite 1 komt de naam Spinoza wel een enkele maal voor, maar komt Cantor’s studie van Spinoza en de invloed van de laatste op Cantor niet echt aan de orde.
Goed beschouwd was het artikel uit 1993 van Lee Stauffer, Spinoza, Cantor, and infinity 2 tot voor kort het enige dat hier enige aandacht aan gaf.
José Ferreirós van de Universidad de Sevilla had in The Motives behind Cantor's Set Theory – Physical, Biological, and Philosophical Questions 3 in een aparte paragraaf (§ 5) al een en ander over Cantor's interesse in de filosofie van Spinoza.
Maar nu net onlangs (in 2008 en 2009) verschenen twee omvangrijke artikelen, die van elkaar niet weten en elkaar dus niet citeren, die zeer uitvoerig gaan over de relatie van Cantor met Spinoza.
Anne Newstead (van de School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales, Australië) schreef Intertwining metaphysics and mathematics: the development of Georg Cantor’s set theory 1871-1887. 4
Cantor wist dat hij inging tegen de filosofische ‘orthodoxie’ die sinds Aristoteles stelde dat er in de wiskunde geen actuele oneindigheden vereist waren. Om zijn nieuwe theorie ingang te doen vinden besefte Cantor dat hij moest argumenteren met deze filosofische traditie. Spinoza gaf hem daarbij veel stof om over te denken. Het is eigenlijk triest makend bij haar te lezen, hoe Cantor enerzijds grote waardering had voor Spinoza, maar als gelovige – katholiek - en in discussie met kardinaal Johannes Franzelin zich moest verweren tegen het verwijt Spinozist te zijn, wat in die tijd, tegen de achtergrond van Spinoza’s herwaardering door de Romantici en Idealisten betekende: als pantheïst gezien worden. Paus Pius IX had het nodig gevonden in 1861 een encycliek tegen het pantheïsme te schrijven. Cantor ging in zijn verdediging zo ver dat hij op het laatst iets van zijn mathematische theorie terugtrok.
Het recentste artikel is van Paolo Bussotti & Christian Tapp: The influence of Spinoza’s concept of infinity on Cantor’s set theory. 5 Zij laten zien hoe Cantor niet alleen als student, maar ook later intensief met het werk van Spinoza bezig bleef. Zij trekken de invloed van Spinoza op Cantors mathematisch en filosofisch denken op het punt van oneindigheid na, zoals in de Ethica en de brief aan Lodewijk Meijer aan de orde komt en laten zien dat die invloed diepgaand was. En ook zij behandelen hoe Cantor niet vereenzelvigd wilde worden met Spinoza’s filosofie, gezien de in die tijd onvermijdelijk pantheïstische uitleg.
De aantekeningen die Cantor in het genoemde cahier maakte, zijn in dit artikel voor het eerst voor de Engelstalige wereld vertaald.
Goed beschouwd kwam nog tijdens zijn leven erkenning van zijn betekenis voor de moderne wiskunde, waarin de door hem begonnen verzamelingenleer een van de centrale peilers werd, maar hij was toen opgenomen in de psychiatrische kliniek van Halle. Dus of hij dat nog werkelijk heeft meegekregen…
Noten en bronnen
1 Cambridge, Mass, 1979; reprinted Princeton University Press, 1990 - in te zien bij books.google.nl
2 In: THE NEW MEXICO WEST TEXAS PHILOSOPHICAL SOCIETY & SOUTHWEST PHILOSOPHICAL STUDIES. Vol 15, 1993 [gescand pdf]3 In: Science in Context (2004), 17:49-83 Cambridge University Press [hier]
4 In: Review of Contemporary Philosophy, Vol 7, 2008 [Denbridge Press - New York] [hier de uitgever; en hier is een pdf te vinden]5 In: Studies In History and Philosophy of Science Part A, Vol. 40, No. 1. (March 2009), pp. 25-35. [hier de uitgever]
Joseph W. Dauben: GEORG CANTOR AND THE BATTLE FOR TRANSFINITE SET THEORY [pdf]
Zie hoofdstuk 28 over Georg Cantor door van Rüdiger Thiele, in T. Koetsier, Luc Bergmans (Eds.): Mathematics and the divine: a historical study. Elsevier, 2005,701 pagina's, p. 523- 548 [zie books.google.nl]
Veel informatie en biografie Georg Cantor in MacTutor.
Een eerdere video werd weer gewist. Dezelfde uitzending werd op 14 sep 2010 op Youtube gebracht (hopelijk blijft deze staan):
The God of Mathematics - Georg Cantor's Infinities (Continuum Hypothesis)
The fascinating and tragic story of Georg Cantor, maybe the greatest mathematician of the 19th century, who came up with the Continuum Hypothesis that will unravel the mysteries of infinity. Only Cantor had a little secret - he thought god was speaking to him and saw himself as his messenger.
Hier de BBC chanel 4 documentaire “Dangerous Knowledge”, waarvan het eerste half uur gaat over Georg Cantor.
Foto van de junge Cantor aan begin van 't blog van hier.
Reacties
Bedankt, Stan, voor deze informatie. Zodra ik terug ben in het land zal ik de twee laatst genoemde artikelen opsporen en lezen. Lijken mij buiitengewoon interessant. Hopelijk neemt Robbert Dijkgraaf daar ook kennis van. Dan zal hij misschien zijn eigen fysisch wanbegrip van oneindigheid willen bijstellen. Zoals je weet heb ik hem daarop al eens aangevallen.
Wim Klever 04-09-2009 @ 11:12