Waarom had Spinoza een voorkeur voor meetkunde (en niet voor rekenkunde)? - BdSpinoza

Waarom had Spinoza een voorkeur voor meetkunde (en niet voor rekenkunde)?

Adrie Hoogendoorn stuurde mij de volgende tekst toe met het voorstel die in een blog op te nemen. Graag voldoe ik daaraan, daar zijn opstel aardige historische achtergrondkennis aandraagt die een antwoord kan bieden op de in de kop van het blog gestelde vraag, die tevens de titel is van Adrie's stuk.

Alleen de inleiding, die het probleem schetst, neem ik hierna op zodat u een indruk krijgt. Van het hele artikel dat ca 4½ blz. telt geef ik aan het slot de plaats van het PDF.

Adrie en ik zijn benieuwd naar uw eventuele reactie die u hieronder kunt plaatsen.

Waarom had Spinoza een voorkeur voor meetkunde (en niet voor rekenkunde)?

Adrie Hoogendoorn

1. Het Probleem

Een van de opvallende kenmerken van Spinoza's filosofie is zijn voorkeur voor de meetkunde en zijn geringe achting voor de rekenkunde. De meetkunde wordt zelfs in de ondertitel van zijn Ethica genoemd, want de Ethica wordt 'volgens de meetkundige ordening' (Lat. ordine geometrico) uiteengezet. De rekenkunde wordt in zijn werk nauwelijks genoemd. En als ze genoemd wordt lijkt het om eerste kensoort, empirische kennis, te gaan. Een van de argumenten is uiteraard dat hij zijn filosofie wilde formuleren in een zo sterk mogelijk deductief systeem. En dan is de meetkunde van Euclides daarvoor het ultieme sjabloon. Maar waarom dat dédain voor de rekenkunde? Voor hedendaagse filosofen, en wiskundigen, is dat des te opvallender. Immers, de meetkunde en de rekenkunde worden beide als gelijkwaardige takken van de wiskunde gezien. Sterker nog, volgens het logicistische programma van Frege (1848-1925), en in navolging van hem, van Bertrand Russell (1872-1970) en Rudolf Carnap (1891-1970) is juist de rekenkunde – en niet de meetkunde – terug te brengen tot de logica. Wellicht was het onuitgesproken argument dat de meetkunde al evident logica was terwijl dat voor de rekenkunde nog bewezen diende te worden. En weliswaar stuitte Russell op de logische paradoxen, en gaf hij toe dat het axioma van oneindigheid niet alleen op logische gronden gekend wordt. Maar toch, de rekenkunde als logisch en rationeel, programma doet in de nieuwere filosofie niet onder voor de meetkunde die door Spinoza (en velen voor hem) zo op het schild geheven wordt.

Mijn stelling is dat Spinoza's voorkeur voor de meetkunde ingegeven is door de ontdekking van de irrationale getallen. Dit zijn getallen die niet als geheel getal of als breuk geschreven kunnen worden. Ze gaven sedert hun ontdekking in de Oudheid een klap aan het prestige van de rekenkunde, terwijl er in de meetkunde wel degelijk een zichtbare grootte, een lijnstuk, aan toegeschreven kan worden. Spinoza staat in zijn voorkeur niet alleen. De Wetenschappelijke Revolutie van de 17e eeuw was een meetkundige revolutie. Sterker nog, de meetkunde als theorie van de wereld voorzag Newton en Einstein van hun 'intellectual toolbox'. Dat is althans de mening van wetenschapsfilosoof Popper.

Het hele artikel staat hier als PDF.

spinoza | 15-09-2016 | 13:21 | Link | Reacties (27)

Reacties

M.i. was het Spinoza te doen om de axiomatiek van de Euclidische meetkunde en niet om een keuze voor arithmetiek dan wel geometrie.
"Op meetkundige wijze" betekent dan "axiomatisch".

Adrie,
Het raakt niet de kern van je informatieve stuk, maar misschien is wel aardig om, naast jouw citaat uit de tweede brief, waarin Spinoza zijn geometrische bewijsmethode als "helder en kort" omschrijft, te wijzen op de enige plaats in de Ethica waarin hij iets van een kwalifikatie geeft aan de geometrische orde van bewijzen (en misschien ook wel de enige plaats waar hij zich in zijn lezers inleefde...), n.l. in 4/18s:

Sed antequam haec prolixo nostro geometrico ordine demonstrare incipiam...
Het gaat dan om "prolixo" [van prolixus: lang, uitgebreid]
Vermeulen: Maar voordat ik dat in onze uitvoerige meetkundige volgorde ga bewijzen...
Stern: in unserer ausf¨¹hrlichen geometrischen Ordnung...
Shelley: in our detailed geometrical order...
Curley: But before I begin to demonstrate these things in our cumbersome Geometric order, met daarbij deze
noot: “Cumbersome” [hinderlijk] renders “prolixus,” which might be translated “full” (White) or “detailed” (Elwes). But the same term is used in a similar context in the Prolegomenon to Descartes’ Principles (1/141/14), and I take it that Spinoza feels somewhat defensive about his preferred manner of writing, recognizing that it makes great demands on the reader’s patience and perseverance, and will inevitably encounter resistance.
Curley gaat zo te zien wel ver in zijn invoelende vertaling...

Enfin, voor hij daartoe overgaat, probeert Spinoza eerst wat hij bedoelt met de voorschriften van de rede inzichtelijker te maken.
Het zegt denk ik wel IETS van hoe hij de geometrische ordening ook zag.

@ Stan,
Dank voor deze passage 4/18s in de Ethica over de meetkundige orde. Het is wellicht de enige. Ik lees de passage echter iets anders. Het gaat om de geboden van de rede. Voordat hij deze uitvoerig en in meetkundige orde gaat beschrijven (in de navolgende stellingen) wil hij ze eerst, in dit scholium, kort omschrijven.
In vert. Stern: 'Bevor ich aber dies [das was uns die Vernunft vorschreibt] in unserer ausführlichen geometrischen Ordnung beginne, möchte ich zuvor noch die Vorschriften der Vernunft selbst hier kurz darlegen ...'
M.a.w. Sp. geeft in het scholium kort weer wat de voorschriften van de rede zijn en zal ze verderop in Deel 4 op meetkundige wijze bewijzen.
@ Fred,
Inderdaad was het Spinoza om het (axiomatische) deductieve systeem te doen, zoals ik in de eerste paragraaf ook beschrijf. Het gaat me in het stuk echter vooral om zijn geringe achting voor de rekenkunde, waar ik me al enige jaren over verbaasde. Spinoza maakt bijvoorbeeld in zijn werk ook geen melding van de door Descartes ontwikkelde analytische meetkunde, die meetkundige figuren omschrijft met algebraïsche formules. Wellicht niet diepgravend genoeg in vergelijking met Euclides.

Heel interessant en vlot leesbaar stukje. Niet de zware specialistische lectuur die vandaag de academische norm lijkt.
Inhoudelijk heb ik er heel wat uit geleerd. Een toevoeging misschien: Euclides ging er nog van uit dat zijn axioma's zodanig evidente waarheden waren, dat er geen andere konden gekozen worden. Typisch voorbeeld: door een punt buiten een rechte kan men maar één evenwijdige aan die rechte trekken. Pas veel later (19e eeuw?) bleek dat men met een ander axioma (bv. er kan meer dan één evenwijdige getrokken worden) ook een consistente meetkunde kon opbouwen: de niet-Euclidische meetkundes of de niet-vlakke meetkundes. Merkwaardig vind ik dat Spinoza soms lijkt aan te nemen dat zijn axioma's en bewijzen niet volstaan om de ene waarheid aan te tonen: hij schrijft dat de lezer pas overtuigd zal zijn als hij de Ethica in zijn geheel heeft doorgenomen. En dan doet hij beroep op de waarschijnlijkheid van het geheel, en niet op de onaanvechtbaarheid van de deductieve methode.

PS: Adrie, je situeert de differentiaal- en integraalrekening in de 18e eeuw. Is dat niet eind 17e eeuw?

Het klopt, Adrie, wat je @ 16:46 schrijft over wat Spinoza daar doet, maar mij ging het erom dat hij en passant iets over zijn geometrische methode schrijft: "prolixo"! [Zeker als je de vertaling van Curley accepteert]. Ach, heel belangrijk is het niet, maar het is wel de enige keer dat hij er iets over zegt.

Mark, je hebt gelijk. Volgens Wikipedia werd de diff/integr rekening einde 17e eeuw gedaan.

Ludwig Wittgenstein’s ordening van zijn Tractatus logico-philosophicus is niet anders dan de toepassing van de zgn. decimale code zoals bijv. toegepast in de universele decimale classificatie (UDC), gebruikt in bibliotheken en archieven. Je kunt dat toch nauwelijks een echt rekenkundige ordening noemen. Het is in ieder geval niet een logisch-deductief systeem.

Stan,
De getallen worden door de logicisten, zoor zover ik ze begrijp, verklaard uit de verzamelingenleer. Voorbeeld: het getal 3 is de verzameling van alle verzamelingen die drie leden hebben. Daarin heb je weer subverzamelingen: 3 kopjes, 3 computers etc. Die kan je nummeren, etc.

Adrie, je schreef "Spinoza maakt bijvoorbeeld in zijn werk ook geen melding van de door Descartes ontwikkelde analytische meetkunde, die meetkundige figuren omschrijft met algebraïsche formules. Wellicht niet diepgravend genoeg in vergelijking met Euclides."
Mijn commentaar: waarom zou hij? Het gaat hem immers om de axiomatiek en in zijn tijd vierde de axiomatisch opgezette Euclidische meetkunde hoogtepunten in zijn toepassingen. Denk hier ook aan Christiaan Huygens die in plaats van de differentiaal rekening uit te vinden (hetgeen Leibnitz en Newton wèl deden) bleef steken in meetkundige bewijsvoering.

Toch waardeert Spinoza in het aanhangsel van het eerste deel de wiskunde:
“…indien niet de wiskunde, die niet over doeleinde, maar slechts over wezen en eigenschappen van figuren handelt, de mensen een ander richtsnoer van waarheid had getoond. En behalve de wiskunde zijn er ook nog andere oorzaken aan te wijzen welke aanleiding gegeven hebben (…) tot ware inzicht in de dingen te komen.”

Fred, je raakt aan 2 interessante punten: de axiomatische methode en de 17e eeuwse wetenschap.
1. De voordelen van de axiomatische methode zijn evident. Euclides is wat dat betreft een showcase. Sp. was onder de indruk en maakte er gebruik van. Er zijn twee nadelen:
Eerste nadeel - de definities van Euclides overtuigen direct en bij eerste lezing. Voorbeeld: Eucl.def.1: 'Een punt heeft geen lengte en geen breedte'. Je hoeft niet verder te lezen om overtuigd te raken.
De definities van Sp. zijn niet direct overtuigend. Voorbeeld: Sp.E1d1: 'Onder oorzaak van zichzelf versta ik een zaak waarvan het wezen het bestaan insluit etc.' Je moet eerst verder lezen - ten minste tot het Godsbewijs in E1p11 - om vervolgens met terugwerkende kracht overtuigd te raken. Een indirecte overtuigingskracht dus.
Tweede nadeel - de axiomatische methode is minder geschikt voor filosofische - metafysische - zaken (zie mijn essay punt 5). Immers, in de metafysica worden de axioma's zelf ter discussie gesteld. Als je definitie 1 van Deel 1 ontkent en niet vermeldt stort het hele bouwwerk van de Ethica in elkaar, althans tenminste tot de conatusthese in Deel 3. In dat opzicht zou de dialectische methode van Socrates het overwegen waard geweest zijn.
2. In hoeverre was Sp. op de hoogte van de stand van de wetenschap van zijn tijd? Hij had een praktische en theoretische kennis van de optica, had contacten met Christiaan Huygens en briefwisseling met Hudde over optische problemen. Maar heeft hij ooit door een telescoop gekeken? Ik denk van niet, althans het is niet bekend. Was hij op de hoogte van de ontdekkingen van Kepler en Galilei? Ook onbekend. Hij had de Eclogae van Kepler in zijn bibliotheek, maar dat gaat over theologische zaken. Galilei ontbrak. Zijn bibliotheek was goed voorzien van Descartes, van de klassieken en van theologische werken, maar hij was w.sch. onbekend met de door Descartes ontwikkelde analytische meetkunde.
Spinoza had ongetwijfeld een diepgravend en borend intellect en was verknocht aan het schematisme van Euclides. Maar of hij veel intellectuele souplesse had? Hij legt weinig nieuwsgierigheid naar zijn correspondenten aan de dag. en als hij dat doet is het vermanend, zie zijn brief aan Bouwmeester, Br28. Dit zeg ik met een voorbehoud. Want jammer genoeg weten wij te weinig en wellicht speelt de claustrofobische selectie van de brieven door de redacteuren van zijn nalatenschap ons parten.

Adrie, ik ben het grotendeels met je reactie onder 1 eens. Wel 1 bemerking en 1 vraag:
1. Je gaat in je redenering geruisloos over van axioma naar definitie - maar in principe zijn dit twee verschillende begrippen. In de axiomatische methode ben je mi volkomen vrij om definities te kiezen - de definitie zegt wat iets is - maar dat het gedefieerde ook bestaat zal je moeten bewijzen. Een axioma is een stelling die je als waar aanneemt zonder het te kunnen bewijzen. Voor Euclides was dit geen probleem omdat hij zijn axioma's zo koos dat de waarheid ervan vanzelfsprekend leek. Vandaag zeggen we dat de axioma's niet vanzelfsprekend moeten zijn, maar wel onderling consistent - een axioma mag niet leiden tot een stelling die ingaat tegen een ander axioma.
2. Wat is de reden dat de lezer van de Ethica met terugwerkende kracht overtuigd raakt? Spinoza beaamt dit fenomeen (E2/11s), maar geeft er geen verklaring voor. Ik denk -na discussie met Adèle- dat de reden moet gezocht worden in het ontstaan van intuïtieve kennis (3e soort) naarmate je het geheel van het inzicht begint te zien. De 'uitgestelde overtuigingskracht' kan m.i. niet van de rde komen, want als de rede niet overtuigd is van de axioma's, kan ze ook niet overtuigd zijn van de gevolgtrekkingen!

Conclusie: waar Spinoza schrijft "Op meetkunde wijze", bedoelt hij "axiomatisch". Zijn gebruik van de term "meetkunde" zet mensen op het verkeerde been.

Mark,
Bij wat je @ 11:09 onder 2. schrijft doet mij denken aan het eerste hoofdstuk van H.A. Wolfson's "The philosophy of Spinoza", getiteld: "Behind the Geometrical Method". Daarin beschrijft hij zijn overtuiging dat Spinoza zelf zijn metafysische filosofie al eerder ontwikkeld had en de geometrische methode gebruikte om wat hij vond syetematisch over te dragen (met vooral een didactische opzet dus). Wel meerderen hebben vanuit die overtuiging geschreven: Johan Carp bijvoorbeeld, die vond dat voorafgaand aan de geschreven tekst Spinoza een intuïtie moet hebben gehad (hij veronderstelde een soort voorafgaande unica mystica). Ik denk trouwens dat we allemaal er wel van uitgaan dat Spinoza eerst zijn inzichten had gevormd en toen pas aan zijn presentatie begon. Hoe erachter te komen hoe Spinoza zelf aan zijn inzichten kwam. Daar zijn veel pogingen toe gedaan. Voor Wolfson zat achter en onder de Ethica in geometrische orde, een Ethica in rabbinale en scholastieke orde (p. !, 59) en die wilde hij er onder vandaan pulken.
Dit moge zo zijn, maar ik geloof niet dat Spinoza er zo over dacht dat hij de lezer via zijn geometrische ordening naar zijn idem dito intuïtie meende te kunnen brengen. Ik geloof niet dat je uit E 2/11s kunt afleiden dat Spinoza een beroep doet op een derde kenvorm die door de (rationele) geometrische orde als het ware zou worden opgeroepen. Volgens mij doelt hij met 2/11s alleen op de gewone (rationele) begrijpelijkheid die zou kunnen worden vergroot door meer van het gehele stelsel te zien. Het is namelijk niet zo dat je vanuit latere stellingen de eerdere nog kunt veranderen (of anders kunt doen begrijpen); dat zou de hele opzet (pretentie) van de geometrisch geordende deductie teniet doen.

@ fred neerhoff,
Dat we Spinoza's 'meetkundige orde' als 'axiomatische' moeten lezen, is een 20e eeuwse vertaling, volgens mij als eerste door Huib Hubbeling gebracht. Dan zie je er wel aan voorbij dat (m.u.v. het rekenkundige voorbeeld waar Adrie in zijn stuk op wijst), Spinoza vooral meetkundige voorbeelden gebruikte (driehoeken en cirkels) als hij dingen nader wilde toelichten. Hij gebruikte niet alleen de axiomatische opzet uit Euclides, maar haalde in diverse Scholia meetkundige voorbeelden aan - zelfs in het rekenkundige voorbeeld van de regel van drie verwees hij naar Euclides. Je kunt achteraf Spinoza geen bedoelingen toelichten vanuit latere ontwikkelingen van wiskunde en logica. Volgens mij bedoelde Spinoza dan ook (binnen de kennis van de 17e eeuw en het enthousiasme voor de niet lang daarvoor herontdekte Euclides) zijn metafysica helemaal te geven naar het model van Euclides - ook in zijn Scholia.

P.S. met "unica mystica" @ 12:42 is uiteraard bedoeld "unio mystica".

Stan Verdult schreef "Hij gebruikte niet alleen de axiomatische opzet uit Euclides, maar haalde in diverse Scholia meetkundige voorbeelden aan - zelfs in het rekenkundige voorbeeld van de regel van drie verwees hij naar Euclides."
Zeker, maar de opzet van de Spinoza's Ethica is axiomatisch. Met meetkunde heeft zijn Ethica weinig of niets van doen.

Beste Fred,
Uiteraard mag je vasthouden aan je mening en anderen proberen te overtuigen dat "op meetkundige wijze" gelezen MOET worden als: "axiomatisch".
Maar wat Spinoza voor ogen stond geef je daarmee mogelijk toch te kaal, te sober weer. Je zegt: "Met meetkunde heeft zijn Ethica weinig of niets van doen." Maar vergeet niet dat Spinoza het voorwoord van deel III eindigde met, zoals bij Krop te lezen is: "Ik zal dus de natuur en de kracht van de hartstochten en de macht van de geest daarover, volgens dezelfde methode behandelen, als in het voorgaande God en de geest en ik zal de menselijke handelingen en de begeerten beschouwen als betrof het een vraagstuk van lijnen, vlakken en lichamen." Hem stond echt het model van de meetkunde voor ogen op een omvattender manier dan alleen het axiomatische!

Hierbij corrigeer ik mijzelf, waar ik 15-09-2016 @ 16:19 en @ 19:37 beweerde dat 4/18s de enige plaats zou zijn waarin Spinoza iets over zijn geometrische methode schreef: hier is een duidelijke andere plaats.

Ik kan ook maar speculeren wat Spinoza in E2/11s voor ogen had, maar IMHO zit er toch iets meer achter dan het vragen van wat meer geduld alvorens men de waarheid van de axioma's zal inzien. Kan iemand zich inbeelden dat Euclides zich ooit op een dergelijke manier tot de lezer zou wenden?

Stan, volgens jou stond Spinoza met "ik zal de menselijke handelingen en de begeerten beschouwen als betrof het een vraagstuk van lijnen, vlakken en lichamen" iets veel meer omvattender voor ogen dan "alleen het axiomatische".
Mijn commentaar: Oh ja? Wat stond hem dan volgens jou, Stan, anders voor ogen dan de aankondiging van een axiomatische opzet van zijn filosofie?

Ed gaf het al aan: de wiskunde (lees: meetkunde) bood een nieuwe norm voor waarheid. Ze houdt zich niet bezig met doelen, maar met essenties en eigenschappen van figuren (1/app). Om die reden koos Spinoza voor de 'meetkundige methode': langs die weg kom je tot de waarheid. Daar maakt de axiomatische opzet natuurlijk deel van uit en is daar wezenlijk voor en ik denk dat een ander voorbeeld dan de meetkunde er niet was. Hij kon dus niet anders kiezen. Maar dat is volgens mij toch niet de enige reden. Ik denk dat ook een rol speelt dat de meetkunde over 'essenties en eigenschappen' van dingen gaat en niet over doelen. Dat is volgens mij niet inherent aan 'een axiomatische opzet'. Ik denk dat je ook een axiomatische opzet kunt hebben m.b.t. doelen van dingen.

Mark en Stan,
Er is een merkwaardige tegenstelling tussen de 8 definities van Deel 1 en de erop volgende 7 axioma's. De definities blonken voor mij bij eerste lezing - inmiddels wat jaren geleden - uit in onbegrijpelijkheid terwijl de axioma's uitblonken in begrijpelijkheid. De axioma's zijn het dynamische element in Spinoza's systeem en vormen het credo van het rationalisme. De definities zijn het statische element, ze zijn a.h.w. een reeks beginselverklaringen met waarheidspretentie die nadere uitleg behoeven in de erop volgende stellingen. Ze zijn niet zo vanzelfsprekend als de axioma's en bijgevolg ook meer onderwerp van commentaar geweest dan de axioma's. E2p11s dat vermeldt dat 'veel lezers ongetwijfeld zullen blijven steken' zou wat mij betreft meteen al aan het begin van Deel 1 geplaatst kunnen worden als een soort caveat.

henk keizer, schreef "Ik denk dat ook een rol speelt dat de meetkunde over 'essenties en eigenschappen' van dingen gaat en niet over doelen. Dat is volgens mij niet inherent aan 'een axiomatische opzet'. Ik denk dat je ook een axiomatische opzet kunt hebben m.b.t. doelen van dingen."
Mee eens. Naar het voorbeeld van Euclides maakte Spinoza gebruik van het stramien: definitie, axioma, stelling, bewijs . Dit stramien is echter niet voorbehouden aan de meetkunde maar is kenmerkend voor formele, wiskundige bewijsvoering.
"Op meetkundige wijze" zou dan gelezen kunnen worden als " Formeel". In de Ethica gaat het immers slechts zeer zijdelings, en dan nog uiterst elementair over meetkunde an sich.

Fred, je negeert volgens mij mijn (en ook Stans) punt. De Ethica gaat niet over de meetkunde. Ontleend aan de meetkunde zijn de door jou geschetste axiomatische opzet, maar ook het karakter dat het niet over doelen maar over essenties en eigenschappen gaat. (Vandaar de meetkundige voorbeelden). Dat laatste ligt niet besloten in de axiomatische opzet en ook niet in 'op formele wijze'. Daar ben je het mee eens als het goed begrijp.

Is het niet een beetje anachronistisch om 'op meetkundige wijze' 'op formele wijze' te willen noemen als de methode, naar ik veronderstel, in die tijd alleen maar toegepast werd in de meetkunde?

Henk, mijn bezwaar richt zich op het gebruik van de term "meetkunde". M.i. gaat die term onder Spinoza uitleggers vaak onterecht een geheel eigen leven leiden en leidt daardoor de aandacht af van Spinoza's axiomatische opzet (zoals die in de wiskunde wordt gebezigd). Dat zijn illustraties een enkele keer gebruik maken van elementaire meetkunde doet daar niets van af.
NB. Ook binnen de optica was meetkunde in Spinoza's tijd het dominante wiskundige gereedschap.

Zie hier een vervolg-blog.

http://spinoza.blogse.nl/log/waarom-had-spinoza-een-voorkeur-voor-meetkunde-en-niet-voor-rekenkunde-een-vervolg-en-een-uitstapje-naar-frederik-van-eeden.html